Les Pensées de Pascal

"Ferox gens nullam esse vitam sine armis rati,
Ils aiment mieux la mort que la paix, les autres aiment mieux la mort que la guerre. Toute opinion peut être préférable à la vie, dont l'amour paraît si fort et si naturel. »
Vanité, (Fragment 63, Sellier)

Lettres de A. Dettonville contenant quelques-unes de ses inventions de géométrie. Sçavoir, La résolution de tous les problèmes touchant la roulette, folio 98 avec les figures
Lettres de A. Dettonville contenant quelques-unes de ses inventions de géométrie, folio 98 (Cote : Em 0010)

La cycloïde, appelée également roulette, est une courbe définie par la trajectoire d'un point situé sur un cercle roulant sans glisser sur un axe. Blaise Pascal s'y intéresse particulièrement et publie en 1658 son «Histoire de la roulette appelée autrement la trochoïde ou cycloïde, où l'on rapporte par quel degrés on est arrivé à la connaissance de la nature de cette ligne ».

Pascal, Roberval et la quadrature de la cycloïde

Le XVIIème siècle est une période de grand bouleversement scientifique, avec l'émergence du calcul infinitésimal. La cycloïde, qui est une des plus célèbres courbes de cette époque, a été l'objet d'attentions de  l'Europe scientifique entière, qui, de près ou de loin,  s'est intéressée  à cette courbe, qui fut une source  inépuisable de validation de méthodes de géométrie différentielle,  issues  de ce nouvel outil qu'est le calcul différentiel. Dans son "Histoire  de la Roulette" de 1658,  Pascal  souligne l'apport de Roberval sur le calcul de l'aire sous l'arche de cycloïde. La méthode de Roberval est décrite ici dans toute ses audaces et ses imperfections, dont  l'emploi des indivisibles de Cavalieri, si difficiles à justifier rigoureusement à cette époque.

La vidéo peut être vue en plusieurs fois :

00:00 Introduction historique

07:15 Qu'est-ce que la cycloïde?

08:55 Tracé de la cycloïde par Roberval

09:53 La construction de la tangente à la cycloïde

13:29 L'expérience de Galilée

14:20 La courbe compagne de la cycloïde

17:06 La méthode des indivisibles

19:30 L'aire sous la cycloïde

Pascal met au point une méthode originale, combinaison d’arithmétique et de géométrie, pour calculer le volume, la surface ou le centre de gravité des solides de révolution engendrés par une courbe. Pour la mettre à l’épreuve, il décide de l’appliquer à la cycloïde, courbe particulière qui a suscité dans un passé récent une vive controverse entre le Français Roberval et l’Italien Torricelli. Pascal institue donc un concours public sur cette courbe, défiant tous les géomètres d’Europe de résoudre les problèmes dont il a lui-même la solution. Le jésuite Antoine de Lalouvère et l’Anglais John Wallis envoient des solutions, qui sont jugées insuffisantes ou erronées. Pascal publie alors ses Lettres  de A. Dettonville, qui regroupent ses solutions avec la résolution de quelques problèmes supplémentaires.

Les Pensées du manuscrit original de la BNF (Cote : MS 9202, folio 410)
Les Pensées du manuscrit original de la BNF (Cote : MS 9202, folio 410)
Lettres de A. Dettonville contenant quelques-unes de ses inventions de géométrie, page de titre
Lettres de A. Dettonville contenant quelques-unes de ses inventions de géométrie (Cote : Em 0010)

Sur la page 410 du recueil des fragments manuscrits originaux des Pensées apparaît au verso des notes relatives aux Provinciales, un texte mathématique manuscrit, le seul qui nous permette de connaître la manière dont Pascal écrivait  les mathématiques. On y remarque que, contrairement à une idée répandue, Pascal disposait d’une manière personnelle de noter ses recherches en termes symboliques. En l’occurrence, il s’agit d’un théorème lié aux Lettres de A. Dettonville sur la cycloïde.

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