Il s’agit d’un tableau triangulaire de nombres qui se lit de gauche à droite. La première ligne est composée de 1. Les lignes suivantes commencent par 1. Pour construire la suite du triangle, il suffit de faire la somme du chiffre qui se trouve au-dessus avec celui qui se trouve à gauche.
Présentation par M Descotes du triangle arithmétique de Pascal :
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L’utilisation de ce triangle permet la résolution de problèmes de probabilité et trouve des applications dans les jeux de hasard et les combinaisons. Ce triangle n’a pas été inventé par Blaise Pascal. Dès le Xe siècle, diverses formes du triangle arithmétique apparaissent dans de nombreuses civilisations, en Chine, en Inde, dans le monde arabe et en Europe. L'intérêt des mathématiciens de ces diverses contrées pour ce tableau de nombres a des origines diverses mais toutes sont reliées à des problèmes de dénombrement (détermination du nombre d'éléments d'un ensemble), notamment pour calculer ce que l'on appelle aujourd'hui la formule du binôme, c'est-à-dire le développement de (a+b)n. Il semble que ce soit dans les œuvres du mathématicien Al-Karaji (Bagdad, fin du Xe siècle) qu'on trouve la première occurrence d'un développement de cette formule.
Présentation de l'histoire du triangle arithmétique jusqu'au triangle de Blaise Pascal (vidéo du Muséum Henri-Lecoq) :
Dans son Traité du triangle arithmétique publié en 1654, Pascal propose une étude systématique de ce tableau de nombres et démontre 19 propriétés de ce triangle. Un des apports majeurs de Pascal est la présence d'un nouveau type de démonstration d'une propriété portant sur tous les entiers naturels, appelé aujourd'hui raisonnement par récurrence. Depuis, ce tableau de nombres porte le nom de triangle de Pascal.
Les mathématiciens fixent la naissance du calcul des probabilités à l'échange de lettres entre Blaise Pascal et Pierre de Fermat en 1654, au sujet du partage équitable des mises entre 2 puis 3 joueurs s'ils décident d'interrompre une partie en cours. Pascal reprendra la question dans son Traité du triangle arithmétique.
La même année, il adresse à la toute jeune Académie parisienne de mathématiques dirigée par le Père Mersenne un vaste programme de recherche où il annonce « un traité tout à fait nouveau, d'une matière absolument inexplorée jusqu'ici, à savoir la répartition du hasard dans les jeux qui lui sont soumis ; la fortune incertaine y est si bien maîtrisée par l'équité du calcul qu'à chacun des joueurs on assigne toujours exactement ce qui s'accorde avec la justice...Ainsi, joignant la rigueur des démonstrations de la science à l'incertitude du hasard, et conciliant ces choses en apparence contraires, elle peut, tirant son nom des deux, s'arroger à bon droit ce titre stupéfiant : la géométrie du Hasard».
350 ans plus tard, les jeux de hasard tiennent une place importante dans notre société. Ils figurent dans les programmes des lycées car ils utilisent un matériel simple (dés, cartes, roulettes des casinos, sphères du loto) où le nombre d'éventualités est fini.
Nous sommes entourés d'événements aléatoires dont l'étude nécessite l'introduction de l'infini et l'usage de démonstrations par récurrence qui généralisent celles de Pascal.
Focus sur :
Sir Francis Galton (1822-1911), statisticien anglais et cousin de Charles Darwin, invente une planche qui illustre visuellement la convergence d’une loi binomiale vers une loi normale. Le dispositif expérimental matérialise la descente d'une bille qui effectue de haut en bas huit pas au hasard soit vers la droite, soit vers la gauche avec une chance sur deux. Tout se passe comme si ou jouait une partie de Pile ou Face en huit coups. Si on fait chuter 100 billes, elles se répartissent sur les neuf arrivées possibles suivant une courbe en forme de cloche, appelée également courbe de Gauss. Or cette distribution des billes a la même allure que la huitième ligne du triangle arithmétique dont le total est 256 (2 à la puissance 8) et correspond au nombre de chemins que la bille peut prendre : 1 8 28 56 70 56 28 8 1
Si on recommence un grand nombre de fois, on trouvera comme moyenne du nombre de billes pour un total de 100 (en effectuant une règle de trois) : 0,39 3,13 10,94 21,87 27,34 21,87 10,94 3,13 0,39
Une bille a donc peu de chance de tomber aux extrémités (0,39%) de l’arrivée car elle n’a qu’une seule possibilité ou un seul trajet mais a plus de chance de se retrouver au centre du parcours (27,34%) car elle a 70 trajets possibles.
Le triangle arithmétique passionne toujours les chercheurs qui continuent à y découvrir des propriétés remarquables.